差点被“怯弱胆怯”所埋没的伟大数学发现!

众所周知,《几何原本》这本书是数学史上的经典。几乎所有人都坚信,欧几里德几何是对物理空间的正确抽象,欧几里德假设是不言而喻的真理;但有些数学家可不这么认为,甚至有点苛刻和真实。他们习惯于怀疑地看待这些事实。对于欧几里德几何学中的第五个假设,即平行假设(如果一条线段与两条直线相交,且一侧内角之和小于1800,则两条直线在继续延伸后,将以内角相交,而一侧小于1800),这些数学家更是疑心重重。因为第五个假设的真理不如其他假设那么明显,它缺乏绝对的真理,所以必须证明这个理论的说服力。

非欧几里德几何学的诞生始于人们努力消除对欧几里德平行假设怀疑的过程。

因怯弱而沉默的“数学之王”

数学家认为,如果第五个假设不作为公理,那么它应该是一个定理,可以从其他公理中推导出来。因此,从希腊时代到1800年,许多著名数学家加入了证明第五假设的大军。他们试图证明这个假设的正确性,但没有成功。其中,许多数学家高高兴兴地宣布他们已经证明了第五个假设,但不久就有人指出他们的错误使结论站不住脚。1759年,法国数学家达朗贝尔称平行假设问题为“几何原理的小丑”。

直到18世纪,这一问题才有了突破性进展。

德国著名数学家高斯是第一个从证明第五公共机构的大军中醒来的人。高斯是18世纪最伟大的数学家,也是数学史上最著名的大师之一。他在数学方面的非凡造诣和杰出成就使他成为“欧洲数学之王”。作为一个受人尊敬和赞誉的数学巨人,高斯一生中唯一的批评就是他参与验证第五假设后的表现。

那时,人们已经认识到第五假设和平行公理是等价的。平行公理是:“如果你在一条直线外穿过一个点,你只能使一条直线平行于一条给定的直线。”所谓等价,就是说如果我们把第五个公理作为公理,那么平行公理就可以从第五个公理推导出,平行公理就变成了一个定理;反之,如果我们把平行公理作为公理,我们也可以把第五个假设作为一个定理来证明。由于平行公理的描述比第五个公理简单明了,证明第五个公理实际上就是证明平行公理。后来,数学家发现平行公理和“三角形内角之和等于1800”也是等价的。如果我们能证明“三角形内角之和等于1800”,就等于证明平行公理和第五个假设。因此,我们转而证明这一结论。

起初,高斯也在这种思维轨道上下了很大的功夫;但当他竭尽全力仍不知所措时,他逐渐意识到平行公理是不可证明的。1817年,高斯在给朋友的信中提到了这个猜想。更重要的是,在“无法证明”思想的启发下,高斯继续研究,发现了一种前所未有的惊人的新几何学。1824年,47岁的高斯给一个朋友写了封信说:“三角形的内角之和小于1800。这种假设导致了一种特殊的几何,它与我们的几何完全不同。这种几何结构是完全兼容的。当我找到它时,结果完全令人满意。”

起初,他把这种新的几何称为“反欧几何”;后来,他把它改为“星空几何”;最后,他把它称为“非欧几何”。

不幸的是,高斯没有发表这一新的几何发现,这是完全不同于欧几几何。因为在当时,康德的唯心主义空间理论占据了主导地位。这个理论认为人天生就有空间的概念。这个空间是欧几里德空间,也是唯一的空间。包括数学家在内的所有人都相信这一点。高斯担心自己的惊人发现会引起世人的惊讶和嘲笑,并有可能失去自己的声誉,因此他不敢将研究成果公之于众,而是小心翼翼地把一些成果写在日记和书信中,直到去世。

被无情埋没的年轻天才

当高斯保持沉默时,匈牙利数学天才小波约伊(亚诺什·波约伊)首次提出了这种新的几何学。

看来,高斯和博悦的独立研究之间的巧合似乎是命中注定的。由于博约伊的父亲是高斯的同学和朋友,这位数学家毕生致力于平行公理的证明,但失败了。当他知道父亲一生未果的事业是证明平行公理时,他天生的基因、家庭的影响和强烈的好奇心也吸引了他去证明平行公理。当老波约伊知道儿子做了什么的时候,他非常紧张。他害怕自己会和自己一样。他会用一生的时间来证明这一点,但最终,这将一事无成。因此,老波约伊不停地写信劝阻小波约伊退出这个领域。

但他父亲的辛勤努力并没有阻止他去探索和研究。他很快得到了和高斯一样的结果。1823年,他兴奋地写信给父亲,讲述他的发现,并决定发表他的研究成果。当时,博伊只有21岁。

1832年,老波约伊出版了一本关于几何学的书,以附录的形式发表了一篇题为“与欧几里德平行公理无关的空间绝对真实性理论”的论文。虽然全文只有24页,但对非欧几何学的看法非常清楚。

然而,这并不是小波约伊的最终目标。他非常希望自己的观点能得到数学权威高斯的支持,于是写信给高斯征求意见。但高斯在回信中只表扬了他的数学天赋,并没有热烈支持小波约伊的新几何学。这使小波约伊很失望,极大地挫伤了他的研究热情。

1848年,当他阅读罗巴切夫斯基的德语译文时,他发现这位俄罗斯数学家和他自己几乎同时发现了非欧几何。看到同样详细的内容和理解已经公之于众,我们可以想象小波约伊的失落和痛苦。他很生气,因为他的发现没有得到应有的承认,然后他变得非常沮丧。从此,他放弃了数学研究。

很遗憾,一位非凡的数学天才被无情地埋没了。

饱受嘲讽的“几何学哥白尼”

1826年,在喀山大学的一次物理会议上,俄罗斯数学家罗巴切夫斯基宣读了他关于非欧几何的第一篇论文,其中奇异的内容和命题震惊了数学家。例如,三角形的内角之和小于1800,锐角一侧的垂直线不能与另一侧相交,等等。

1829年,罗巴切夫斯基撰写并发表了一篇题为《几何学原理》的论文。本文重申了第一篇论文的基本思想,对其进行了补充和发展,并宣告了非欧几何的基础。

因为罗氏几何学动摇了旧的传统空间观念,也背离了人们的日常经验;因此,小波约伊一开始就遭遇了高斯所担心的:嘲笑与嘲弄、扭曲与贬低、责难与人身攻击。学术界也持漠不关心、否定的态度,因此彼得堡科学院对他的作品给予了评价:“看来作者的目的是写一部人们看不懂的作品。显然,他达到了他的目的,这本书充满了谬误和荒谬,因此可以忽略不计。”

遗憾的是,在这个关键时刻,高斯没有站出来,他又选择了沉默。

客观地说,当高斯看到罗巴切夫斯基在平行线理论上的德国非欧几里德几何研究时,他的内心极为矛盾:一方面,他在朋友面前私下称赞罗巴切夫斯基是“俄罗斯最杰出的数学家之一”,并下定决心学俄语,以便直接阅读罗巴切夫斯基的所有非欧几里德几何作品;另一方面,他不允许他的朋友向外界透露他对非欧几里德几何的认可,也没有以任何形式公开评论罗巴切夫斯基的非欧几里德几何研究。他积极推选罗巴切夫斯基为哥廷根皇家科学院传播院士;然而,在评选会议和他亲自写给罗巴切夫斯基的推选通知中,他回避谈论罗巴切夫斯基在数学方面最突出的贡献——非欧几何的创造。

以高斯当时在数学界的声誉和影响力,只要他举起双臂,公开支持非欧几何,至少会改变学术界一边倒的局面,阻止罗巴切夫斯基在冷漠和抑郁中完成人生最后一段坎坷的历程。然而,在顽固的保守势力面前,高斯失去了坚持真理的勇气,仅仅为了自己的利益和地位选择了沉默和观望。高斯的表现不仅切断了他成为非欧几里德几何奠基人的可能性,客观上也助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击,导致对罗氏几何认识的滞后,实际上阻碍了数学的发展。

姗姗来迟的肯定

俗话说,真金不怕火。历史是公平的,非欧几何最终得到了学术界的认可。这是人类认识史上一项伟大的创造性成就。它的建立不仅带来了近百年来数学的巨大进步,而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的转变产生了深远的影响。

虽然高斯、小波约伊和罗巴切夫斯基是独立的发现者,但只有小波约伊公开发表了他的研究成果,因此人们称这种新几何为“罗氏几何”,小波约伊也被誉为“几何中的哥白尼”。

虽然这是一个姗姗来迟的肯定,但对于罗巴切夫斯基受苦之后来说,也是幸运的。相比之下,被软弱和沉默掩埋的小波约伊无疑是可怜的;幸存下来的高斯则是不幸的,因为他留下了一个永远无法弥补的缺陷。

来源:宇宙探索百科
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