【单元教学】高中数学人教A版必修第二册7.1 复数的概念 丨跟名师学教研 数学003期

在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题无法解决。事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方的问题。例如负实数能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？本章我们将通过解方程的具体问题引入复数，进而研究复数的表示与运算，以及他们的几何意义，将实数系扩充成复数系。体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充的作用。

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一、内容解析

（说明：通过内容解析确定单元教学重点）

内容的本质：通过解方程引入了复数，研究了复数的表示与运算，几何意义，将实数系扩充成复数系。复数的本质是由实数（已有知识）构成的有序实数对，因此复数与复平面内的点是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，由复数的向量表示可以进一步得到复数的三角形式。

因此，确定本单元课的教学重点：

（1）梳理数系扩充的过程与“规则”，类比自然数集到实数集的扩充，引入复数。

（2）理解复数的概念与几何意义，复数的四则运算。

二、目标解析

（说明：通过目标解析明确达成单元目标的标志）

达成上述目标的标志是：

（1）能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，学生能说明虚数ⅰ的由来、复数代数形式、复数分类，会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题。

（2）能从复平面的有序实数对去理解复数的几何意义。从几何意义理解共轭复数，复数的模等概念。理解复数的模的几何意义，实质转化为两实数对之间的距离问题。

（3）能准确计算复数的加减乘除运算，灵活运用复数的运算律；理解复数的加减运算的实质是向量的坐标运算；了解复数的乘除运算就是平面向量的旋转、伸缩。

（4）通过有序实数对角度，引入角，从解三角形方向推出复数的三角形式，明白辐角意义。复数的乘除运算的三角表示，实质是向量的旋转问题，通过数形结合，能够说清楚乘除后的复数的模与辐角的变化规律。

三、教学问题诊断分析

（说明：通过问题诊断确定本单元难点）

学生已经学会在实数范围内求解一元二次方程，高中阶段已经学习了数集之间的包含关系、向量、三角函数等内容，但知识是零碎、分散的，对数的发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，学生不太了解数系扩充的“规则”，也不适应复数的代数形式是两项之和。对于复数乘除的几何意义，复数乘除运算的三角形式的几何意义，实质是旋转与伸缩，学生对此会感觉到抽象。

因此本单元的教学难点为：复数的引入，复数的代数形式是两项之和形式。复数乘除运算的三角表示及其几何意义。

四、课时教学设计

（本单元共安排6课时。）

第1课时    数系的扩充与复数的概念

教学过程设计

问题1

👆教师通过信息技术制作的课件介绍虚数的引入历史👆

师生共同构建新知：

如图，从解方程角度，看数域的扩张：

设计意图：问题1的设计，回归教材，由于现实生活中没有虚数的真实模型，所以引导学生从解方程的角度出发，体会“数不够用”的紧迫感，感受到引入复数的必要性。将学生引向添加新数的创新性解题思路。

问题2   

梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的“性质”都是一致的。把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然像实数那样进行加法与乘法运算，也希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律，那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？

师生活动：

1、教师追问（1）：从方程的解可以看出，新数集中的数能由原来的实数和新引入的虚数i经过适当“组合”而成的。构成方法是将实数和i进行运算，组成新数吗？比如实数可以与进行加法和乘法运算吗？

由方程的解的表示，给学生很大的启发。学生尝试操作，在练习本写出更多这种组合形式。

2、教师追问（2）：你能写出一个形式，把刚才大家所说的数都包含在内，并说明理由吗？

学生思考回答，所有新数集中的数都可以写成a十bi（a，b∈R）的形式，包括实数，纯虚数，虚数都可以。因为a=a+0i，bi=0+bi，i=0+1i，a+i=a+1i.

3、教师追问（3）：你能写出新数集的集合吗？

学生口述，教师板书：C={a十bi|a，b∈R}.

设计意图：通过问题2和追问1、追问2、追问3，引导学生从方程的解，根据“运算”和“运算律”，由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式和复数集，解决本节课的重点，让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用，以及数学形式化、符号化的过程，突破本节课的难点，提升学生逻辑推理、抽象概括素养。

问题3

（1）复数a十bi（a，b∈R）的虚数单位、实部、虚部分别是指什么？

（2）什么是虚数和纯虚数？试举出具体例子。

（3）复数集C，实数集R，虚数集，纯虚数集之间有什么关系？用韦恩图表示出来。

师生活动：

1. 学生阅读教材，回答以上问题，教师板书总结。

2.学生做例题1、2与练习1、2，巩固复数的有关概念

设计意图：通过问题3，指导学生阅读教科书，思考并回答问题，明确复数的基本概念，通过例题与练习，让学生深入认清实部与虚部，巩固复数的分类标准。

问题4

我们知道复数集是由形如a十bi（a，b∈R）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，你能说出两个复数α十bi和c+di（a，b，c，d∈R）相等的含义吗？

师生活动：

1、教师引导：一个复数的代数形式由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等。

学生思考，实际上，学生可以从方程系数相等角度方面考虑。

2、教师追问（1）：复数是实数的充要条件是什么？a+bi=0的充要条件是什么？

学生思考回答。对于复数a+bi（a，b∈R），易得当且仅当b=0时，它是实数；

a十bi=0即a十bi=0十0i，由复数相等的含义推导可得：

推导可得：当且仅当a=0，b=0时，复数a十bi=0。

3、教师追问（2）：复数能不能比较大小呢？

学生讨论，只有实数才可以比较大小，虚数不能比较大小。

4、学生做例题。

设计意图：通过问题（4），研究复数相等的充要条件这一过程，通过例题训练，让学生理解并灵活利用复数相等的充要条件解题，提高学生数学运算、化归转化的能力。

五、课堂目标检测设计

1.下列命题中正确的是(  )

A．0是实数不是复数

B．实数集与复数集的交集是实数集

C．复数集与虚数集的交集是空集

D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应

设计意图：检测学生是否掌握复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间的关系。培养学生的逻辑推理能力。

2、p： 复数 z=a+bi(a,b∈R) 为纯虚数，q:a=0 ，则q是p的（    ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件           D．既不充分也不必要

设计意图：检测学生对纯虚数的概念及充分必要条件的判断。培养学生的逻辑推理能力。

3.若复数z＝(x²－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(  )

A．－1  B．0     C．1   D．－1或1

设计意图：检测学生对纯虚数的概念及运算能力。

4.下列说法中正确的个数是(  )

①如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等；

②复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等；

③虚数1＋2ai与1＋3ai(a∈R)不可能相等．

A．0  B．1  C．2  D．3

设计意图：检测学生对复数相等的充要条件的理解与运用能力。

本单元教学设计的出发点是基于新课程标准需求的一般观念指引下的单元设计，新教材着重复数的引入，本单元教学设计基于数学史背景创设问题情境，落成核心素养养成理念。下面是对本单元设计和课时设计的一些个人总结。

（一）体现数系扩充规则，渗透类比思想

从自然数到实数的扩充，都是源于现实生活的需要。但是，在现实生活中没有虚数的真实具体的模型，要引入复数，就有很强的“数”的认知冲突，而从解方程的角度去引出扩充数的需求，渗透类比的数学思想，创新性地引入新数。提高学生发现问题，解决问题的能力，提升学生逻辑推理，数学抽象等学科素养，发展创新思维。

（二）恰到好处把握好数学史的引入

选择性地引入数学史，意义在于重现历史经典问题，产生思想碰撞，引发学生的认知冲突，激发学习动机，打破原有的思维，创新性提出问题。为虚数i的自然而然的引入做好铺垫。

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