【单元教学】高中数学人教A版必修第二册8.6空间直线、平面的垂直丨跟名师学教研 数学004期


专栏介绍

【跟名师学教研】栏目内容均为一线名师团队共研成果。学科网携手一线专家与名师团队,聚焦新教材与新高考教学变革,共研高质量教学策略,同创高效率课堂模式,为一线教师提供系列优质经验案例。(文末附加入团队方式)


  名师介绍
名师:淮冰会

数学高级教师。山西省学科带头人, 山西省骨干教师,山西省教学能手,山西省三八红旗手,山西省优质课一等奖,“晋阳杯"大赛山西省一等奖、国家二等奖,山西省奥寒优秀辅导教师,中国奥林匹克二级教练员。运城市个人“一等功”,运城市名师。曾在国家核心期刊发表论文1篇,6篇论文获国家级、省级奖项,主编或者参编教辅10余本,负责或参加了3个国家级课题研究。


   名师卷首语

一个数学对象的研究,经常遵循一般到特殊的研究路径。立体几何中对于直线、平面位置关系的研究也不例外,先研究它们的一般位置关系,再研究特殊的位置关系:本节研究它们的一种特殊的位置关系——垂直关系。在平面几何中,对于两条相交直线,是先定义它们所成的角,然后以所成角为90°定义它们互相垂直。类比在立体几何中,对于两条异面直线、平面与平面相交,依然采取同样的思路,先定义一个角刻画直线与直线异面、平面与平面的相交,于是就有了异面直线所成的角、二面角的定义,然后用这些角等于90°定义直线与直线垂直、平面与平面的垂直。那么直线与平面的位置关系是否也可类比上述定义方法呢?我们将通过研究来体会它们的定义路径是不同的。



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8.6
空间直线、平面的垂直


一、内容解析

(说明:通过内容解析确定单元教学重点)

通过观察实物、模型,抽象出直线与平面垂直、异面直线所成的角相等的概念,通过实际操作,归纳概括出空间直线、平面垂直的判定与性质定理,提升学生的数学抽象的核心素养。通过严格推理论证性质定理,以及用定义、定理解决一些简单问题,提升学生直观想象和逻辑推理的核心素养,同时让学生学会用数学的语言表达世界。用数学知识解决一些简单的实际问题,让学生体会数学的应用价值。在研究中,不仅让学生获得直线、平面垂直的判定和性质定理,而且让学生体会判定、性质定理研究的一般思路,增强学生发现和提出问题的能力,培养学生的理性思维。


综上所述,确定本单元课的教学重点:
直线、平面垂直的判定定理和性质定理的发现过程,以及这些定理的应用。



二、目标解析

(说明:通过目标解析明确达成单元目标的标志)

达成上述目标的标志是:

(1)能通过具体实例,类比两条相交直线夹角的定义,抽象出两条异面直线所成角的定义,能利用定义求简单的异面直线所成的角,并能依据定义判断异面直线的垂直关系。能体会两条异面直线所成角定义中蕴含的转化与化归和降维的数学思想。


(2)能通过观察实物抽象出直线与平面垂直的位置关系,并能说出直线与平面垂直的定义,探究发现其判定定理并能做出合理解释。能够在简单问题中用判定定理判定直线与平面垂直。


(3)能说出直线和平面所成角的定义,并能依据定义得出直线与平面所成角的范围,能在简单的图形中作出并求出直线和平面所成的角。


(4)能通过类比,猜想出直线与平面垂直的性质定理,并会用反证法进行证明,能够在简单问题中用性质定理判定直线与直线平行。


(5)能借助点到直线的距离,结合直线与平面性质定理,说出直线到平面的距离、两个平行平面之间的距离的定义。


(6)能类比研究两条直线位置关系的方法,抽象出二面角及二面角的平面角的定义,并借助二面角定义给出两个平面垂直的定义。


(7)能够通过直观感知、操作确认,归纳出平面与平面垂直的判定定理;能按照性质定理的研究思路,推导出性质定理并证明;并能在简单问题中用定理判定平面与平面垂直,证明直线与平面垂直。


(8)能够在较复杂的问题情境中识别、应用判定定理和性质定理的条件,综合运用定理解决空间中的垂直关系。能够在定理应用的过程中体会空间问题与平面问题的相互转化;并能够利用图形语言、符号语言合理表达问题中的位置关系以及思辨论证过程。



三、教学问题诊断分析

(说明:通过问题诊断确定本单元难点)

问题诊断:

(1)认知基础

在直线、平面平行的研究中,学生对在一般观念下展开研究有了初步的理解,并积累了一些研究方法。学会了在一般观念指导下发现和提出问题,分析和解决问题掌握了直线、平面平行的判定和性质定理,了解它们之间的转化关系,构建了直线、平面平行的知识网络,有助于理解直线、平面垂直的转化关系。


(2)认知困难

平行关系是从“公共点”的角度进行分析,容易理解。垂直关系要借助角来刻画,空间角学生是初次接触,缺乏研究经验。空间中直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角,都是要转化为平面角。直线与直线所成的角、二面角是同类元素所成的角,容易形成类比。而直线与平面所成的角需要转化为直线与平面内的直线所成角,到底选平面内的哪条直线才能满足存在性和唯一性。所以,直线与平面所成角的概念比直线与直线、平面与平面所成角的概念难学。


(3)应对策略

在异面直线所成角的教学中,教师一定要充分让学生体会概念的形成过程,为后续两个空间角的学习奠定坚实的基础。在定义形成的过程中,教师给出两点提示过渡:提示1,在平面几何中,利用两条相交直线所成的角刻画它们的相对位置关系,从而类比想到用角来刻画异面直线的相对位置关系。提示2,研究空间问题的一个基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题。采取特殊到一般的研究过程,先在学生熟悉的长方体内,尝试寻找平面角刻画两异面直线的位置关系,然后再推广到一般情形。


因此本单元课的教学难点是:

直线与平面、平面与平面垂直的判定定理、性质定理的发现过程,直线与平面垂直性质定理的证明,直线、平面垂直的判定和性质的应用。



四、教学支持条件分析

利用长方体模型以及生活中直线、平面垂直的实例可以为学生理解直线、平面的垂直关系提供有力支持;用信息技术通过动态化的演示,让学生从不同角度观察图形,增强视觉效果,丰富学生的几何直觉认识,帮助学生更深刻地理解概念和定理。


本单元分5课时:

第1课时,直线与直线垂直;

第2课时,直线与平面垂直的定义与判定,直线与平面所成的角;

第3课时,直线与平面垂直的性质;

第4课时,二面角,平面与平面垂直的定义与判定;

第5课时,平面与平面垂直的性质。




五、课时教学设计


8.6.1 直线与直线垂直(课时教学设计)

设计意图:作为一个单元的起始课,了解整个单元研究的内容、思路以及研究方法是本节课的任务之一,而且也为本单元后续的研究搭起了框架。


过渡语:我们先来研究直线与直线的垂直关系。空间两条直线的位置关系有三种:平行、相交和异面。我们已经研究了平行直线和相交直线,而且研究了相交直线中的垂直关系。接下来,我们来探讨两条异面直线有没有垂直关系呢?首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系。



师生活动:学生独立思考回答,互相激发补充。首先类比相交直线,学生可以想到用角来刻画。学生如果想不到用一个平面角,因为是第一个空间角的概念,老师可以提示学生关注问题中的最后一句话。在此基础上学生应该能想到找一个平面角来刻画两条异面直线的位置关系。


教师讲解:类比两条相交直线所成的角,我们就把这个平面角称为“两条异面直线所成的角”。

可能有同学会提出两条异面直线的相对位置关系还有距离的不同,老师肯定学生的想法,让他自己下去查阅资料,自行了解,本节课暂不研究。问题2中所给的两组异面直线的位置关系不存在这种差异。


师生活动:学生借助模型,通过直观感知、操作确认,也可以借助两支笔表示两条异面直线,通过转动笔,来直观感知选择哪个平面角。

预设:如图2,对于异面直线A′C′和AB所成的角,有的学生可能将A′C′ 平移到AC,用平面角∠BAC来表示异面直线A′C′ 和AB所成的角;也可能有学生将AB平移到A′B′,用平面角∠B′A′C来表示。


预设:学生思考,可以答出。共同点1,这两个角相等,都等于45°。共同点2,两个角都是将两条异面直线中的一条直线平移到与另一条直线相交得到的。共同点3,都是把两条异面直线所成的角转化成了两条相交直线所成的角。


预设:对于异面直线A′D′和AB所成的角,也可以做类似的平移,比如将AB平移到A′B′,或者将A′D′平移到AD。显然,这两个角也相等,都等于90°。


45°≠90°,所以经过平移异面直线得到的平面角可以表示直线A′C′与A′D′相对于直线AB的位置差异.


师生活动:学生先独立思考,然后小组交流,小组代表展示讲解。


预设:(1)学生画图(如图3),得出结论:两条相交直线AC和EF所成的角为∠COF或∠AOE,这个角显然也等于45°。而且也符合前面的共同特征。

(2)学生发现依然等于45°,学生能根据基本事实4和等角定理解释原因。


在空间任取一点P,过P点分别作出A′C′和AB的平行线a,b,记相交直线a,b所成的角为α。依据基本事实4,a,b与正方体中过点O的直线AC,EF分别平行。再依据等角定理,它们的夹角相等,所以α=45°。


设计意图:类比平面几何中刻画两条相交直线位置关系的方法,利用空间问题平面化的思想,获得解决问题的思路。借助学生熟悉的正方体模型,采用特殊到一般的研究过程,寻找刻画异面直线位置差异的方法。通过将两条异面直线平移到不同的位置,理解这种刻画方法的合理性,然后再依据基本事实4和等角定理从理论上解释其合理性。同时,让学生理解异面直线所成角的大小和“点O”的位置无关。在此过程中提升学生直观想象、逻辑推理的核心素养。


师生活动:学生思考回答,互相补充,教师完善。


预设:(1)求解依据是:两条直线垂直的定义,包括异面垂直和相交垂直两类;(2)(3)求解的依据是异面直线所成角的定义。应该分两步进行:第一步,依据定义“找角”;第二步,通过解三角形“求角”。


师生活动:学生独立完成,抽查展示,教师点评,规范过程。并细化异面直线所成角的解题步骤:作(找)角——证——算——答。


师生活动:学生独立思考作答。


预设:在空间中,垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能相交,也可能异面。平面几何中的结论推广到空间可能成立,也可能不成立。


设计意图:利用异面直线所成角的定义求解问题,进一步理解定义,同时总结求解步骤。并进一步认识到平面几何中成立的结论,推广到立体几何中不一定成立。提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养。



   名师研讨


问1:本单元研究过程中用到的思想方法?


(1)研究空间位置关系的一般方法:直观感知——操作确认——归纳猜想——推理论证——实践应用。判定定理与性质定理的研究都是利用这样的研究方法,判定定理暂时不要求推理论证。

(2)抽象概括的方法:各个定义的形成;判定定理、性质定理的得出过程。

(3)转化的思想:空间角——空间问题平面化;判定定理——无限问题有限化。

(4)类比的方法:类比平行关系的研究思路、方法,研究垂直关系;类比相交直线垂直定义定义异面直线的垂直。


问2:本单元的育人价值?


通过观察实物、模型,抽象出直线与平面垂直、异面直线所成的角的等概念,通过实际操作,归纳概括出空间直线、平面垂直的判定与性质定理,提升学生的数学抽象的核心素养。通过严格推理论证性质定理,以及用定义、定理解决一些简单问题,提升学生直观想象和逻辑推理的核心素养,同时让学生学会用数学的语言表达世界。用数学知识解决一些简单的实际问题,让学生体会数学的应用价值。在研究中,不仅让学生获得直线、平面垂直的判定和性质定理,而且让学生体会判定、性质定理研究的一般思路,增强学生发现和提出问题的能力,培养学生的理性思维。



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END






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