【单元教学】高中数学人教A版必修第二册9.1随机抽样丨跟名师学教研 数学005期




专栏介绍
跟名师学教研

栏目内容均为一线名师团队共研成果。学科网携手一线专家与名师团队,聚焦新教材与新高考教学变革,共研高质量教学策略,同创高效率课堂模式,为一线教师提供系列优质经验案例。(文末附加入团队方式)




名师介绍·周朝晖

周朝晖,男,中共党员。

湖南省特级教师,湖南省汀汀教师,娄底市教育名师,娄底市骨干教师,娄底市毕政之高中数学名师工作室成员,双峰县名师,双峰县骨干教师,双峰县周朝晖高中数学名师工作室主持人,湖南省“十三五”规划课题“Z+Z超级画板支持下的农村高中数学高效课堂研究”主持人,班主任工作坊主持人,湖南省教育科研协会会员,中小学教师资格考试面试考官。




名师卷首语


统计学是通过收集数据和分析数据来认知未知现象的一门科学,它可以为人们制定决策提供依据。统计的研究对象是数据,如何收集数据获得研究对象是统计研究的重要内容,也是统计学习最先需要学习的内容。今天就由我带领大家通过一些典型案例,经历较为系统的数据收集、数据处理过程。


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9.1 随机抽样


一、内容和内容解析

(一)内容

1.调查方法

2.简单随机抽样

3.分层随机抽样

4.获取数据的途径


(二)内容解析

内容本质:获取数据的途径有多种,调查是其中的一种,调查又分为全面调查与非全面调查,抽样调查是非全面调查中的一种重要方法,要使得抽取的样本具有代表性,我们就要依据随机原则,使得每个个体被抽到的概率都相等。简单随机抽样能使每个个体被抽到的概率都相等,分层随机抽样在每一层中也能使每个个体被抽到的概率都相等。


蕴含的思想与方法:随机抽样,在现代社会广泛应用,为我们获取数据节省了大量的财力、物力。用样本估计总体,就是用数据说话,就是统计思想,蕴含着转化与化归的思想。


知识点上下位关系:统计的研究对象是数据,如何收集数据获得研究对象是统计研究的重要内容,也是统计学习最先需要学习的内容。这部分内容是后续学习“用样本估计总体”、“统计案例”以及选择性必修第三册第八章内容的基础。


育人价值:统计的研究对象是数据,是收集数据、分析数据,用数据说话,可以帮助学生用数学的眼光观察世界,发展学生的数据分析素养以及实事求是与公平公正的处世原则。


教学重点:简单随机抽样、分层随机抽样。


二、目标和目标分析

(一)单元目标

1.知道获取数据的基本途径,包括:统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽查、互联网等。


2.了解总体、样本、样本容量的概念,了解数据的随机性。


3.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法。会计算样本均值,了解样本与总体的关系。


4.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法。结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值。


5.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题。


(二)目标解析

达成上述目标的标志是:

1.通过具体实例,明确抽样调查目的是获得对总体情况的了解,强调“好”样本的重要性,突出研究抽样方法的的必要。


2.通过抽样具体实例,从理论上解释用简单随机抽样估计总体的可行性,概括出简单随机抽样的概念,并对比两种方法:抽签法与随机数法的异同。


3.通过计算样本均值估计总体均值,了解样本与总体的关系。


4.通过抽样调查的具体实例,知道对于个体差异较大的总体,实施简单随机抽样时可能出现“极端样本”,此时若进行合理分层,可以改进抽样方法。


5.通过分层随机抽样具体实例,明确分层随机抽样的方法和步骤。


6.通过总样本均值计算公式的简单推导,明确总样本均值等于每层的样本均值的加权平均,并会用比例分配分层随机抽样的样本均值估计总体均值。


7.通过多次模拟两种抽样方法,观察每次抽取的样本观测值,体会样本的随机性和规律性,并借助统计图表比较两种抽样方法的样本均值估计总体均值的效果,能举例说明简单随机抽样和分层随机抽样的区别和联系,并能根据实际需要,设计恰当的抽样方法获取样本。


三、教学问题诊断分析

1.学生在初中学习统计知识时,虽然对有些数据能进行简单处理,但对数据的获取方式方法不了解,这是教学中首先要遇到的教学问题。因此,教学中应通过实际问题,让学生了解统计的实质和抽样调查的必要性。


2.在了解抽样调查必要性后,如何通过调查得到“好”样本,如何理解简单随机抽样的特征,是第二个教学问题。教学中,要让学生通过具体实例分清放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样,进一步概括简单随机抽样的概念,掌握抽签法与随机数法。


3.在掌握了简单随机抽样之后,如何用样本估计总体,是第三个教学问题。教学中,通过实例计算样本均值估计总体均值初步了解用样本的数字特征估计总体的数字特征,并对总体中的某类个体所占比例进行估计。


4.由于简单随机抽样中抽样的随机性,有可能出现“极端”样本,如何避免“极端”样本,怎样理解分层随机抽样,是第四个教学问题。教学中,通过具体实例引入分层随机抽样的概念,强化分层随机抽样的特征。


5.在理解了分层随机抽样之后,可以用得到的样本对总体进行估计,认识总样本均值等于每层的样本均值的关系,是第五个教学问题。在教学中,通过对实际问题的探讨与交流,明确总样本均值等于每层的样本均值的加权平均,并以此来对比简单随机抽样与分层随机抽样的效果及适用范围。


6.统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象,获取数据除了随机抽样外,还有哪些途径,是第六个教学问题。在本节最后通过阅读教材了解获取数据的一些基本途径。


教学难点:从具体实例中概括、抽象简单随机抽样的概念,分层随机抽样的特征及样本均值与各层样本均值的关系,随机抽样方法的恰当选择。


四、教学支持条件分析

学生在初中学习过统计知识,对数据分析有了一定的认识,这是学习统计知识特别是求样本均值的基础。教学时应充分利用学生已有的统计知识,不断补充与完善知识结构。


为了让学生体会随机数的生成、简单随机抽样与分层随机抽样的估计效果,需要借助于Excel电子表格。


五、课时教学设计

本单元共4课时,具体分配如下:

第1课时,简单随机抽样;

第2课时,通过简单随机抽样估计总体;

第3课时,分层随机抽样;

第4课时,获取数据的途径。


第1课时  简单随机抽样

(一)教学内容

章节介绍;简单随机抽样。


(二)教学目标

1.了解总体、样本、样本容量的概念,了解数据的随机性;

2.通过实例,理解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程;

3.在简单情境中,能根据问题实际恰当选择抽签法或随机数法设计抽样过程。


(三)教学重点与难点

教学重点:随机抽样的必要性与简单随机抽样的概念。

教学难点:简单随机抽样概念中样本的随机性。


(四)教学过程设计

问题1  在现实生活中,我们经常会接触到各种统计数据,例如,人口总量、经济增长率、就业状况、物价指数、产品的合格率、商品的销售额、农作物的产量,那么对于具体的统计问题应当如何收集数据呢?如何从收集的数据中提取信息来认识未知现象呢?


师生活动:

教师给出问题后,提醒学生阅读教材,P173-174,了解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量等概念。


设计意图:让学生了解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量等概念。


问题2  假设口袋中有红色和白色共1000个小球,除颜色外,小球的大小、质地完全相同,你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗?


师生活动:

(1)教师给出问题后,提醒学生思考问题、回答问题,教师点评答案,引导学生用初中统计知识进行表述。

(2)教师追问:如果在解决方案中将有放回摸球改成不放回摸球,又有何不同呢?

在学生思考与讨论的基础上,教师引导学生认识到不放回摸球要由于有放回摸球,然后给出放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样以及简单随机抽样的概念。


设计意图:让学生通过自己的思考、讨论,了解放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样以及简单随机抽样的概念,理解简单随机抽样中,在每次抽取时,总体内各个个体被抽到的概率都相等。强调除非特殊说明,本章所说的简单随机抽样指不放回简单随机抽样。


问题3  一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅,他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高,以便设定可调节课桌椅的标准高度。已知树人中学高一年级有712名学生,如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高,应该怎么抽取样本?


师生活动:

(1)教师追问1:这个问题中的总体、个体及调查的变量分别是什么?

(2)教师追问2:怎么抽取?

在学生思考与讨论的基础上,教师给出抽签法与随机数法,然后安排学生阅读教材P175理解抽签法与随机数法的过程与步骤。

(3)教师追问3:怎么生成随机数?

学生阅读教材P175-176,了解生成随机数的方法:试验生成与信息技术生成。

(4)教师追问4:抽签法与随机数法是怎样确保在每次抽取时,总体内各个个体被抽到的概率都相等的?

学生独立思考、小组讨论、分组展示,教师点评、概括:抽签法,号签充分搅拌能使在每次抽取时,总体内各个个体被抽到的概率都相等;随机数法,在任何时候,各个数字都是等可能出现的。

(5)教师追问5:抽签法与随机数法各有何特点,它们的适用范围分别是什么?


抽签法:简单易行,但总体的个体数不能太大;随机数法:适用于总体的个体数较大的情形。


设计意图:让学生简单随机抽样的定义,得出生活中最常用的抽签法,然后思考总体个体数较大时,号签制作困难,能否不做号签呢,从而引出随机数法,然后介绍三种随机数生成的方法,让学生感受信息技术产生随机数的优点与魅力。


问题4  用简单随机抽样方法抽取样本,样本量是否越大越好?


师生活动:

教师给出问题后,提醒学生独立思考、小组讨论、分组展示,教师点评、概括:一般来说,样本量大的会好于样本量小的。但在实际抽样中,样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加。因此,抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要,并不是越大越好。


设计意图:让学生联系实际思考问题,最优化解决。


问题5   统计调查中有哪些收集数据的方法? 简单随机抽样有哪两种常用方法?上述两种方法如何操作,各有何优缺点?


师生活动:

教师出示以上问题后,先由学生思考并交流,最后教师进行总结,强调如下几点:

(1)简单随机抽样,在每次抽取时,总体内各个个体被抽到的概率都相等;

(2)抽签法:简单易行,但总体的个体数不能太大;随机数法:适用于总体的个体数较大的情形。


设计意图:通过问题5对本节课内容进行小结,进一步加深学生对简单随机抽样概念的理解,提升数学抽象与数据分析的素养。


(五)目标检测设计

1.课堂目标检测

(1)在以下调查中,总体、个体各是什么?哪些适合用全面调查?哪些适合用抽样调查?

①调查一个班级学生每周的体育锻炼时间;

②调查一个地区结核病的发病率;

③调查一批炮弹的杀伤半径;

④调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例。


设计意图:这是水平一的问题,检测对全面调查、抽样调查的了解程度。


(2)如图,由均匀材质制成的一个正20面体(每个面都是正三角形),将20个平面平分成10组,第1组标上0,第2组标上1,…,第10组标上9。

①投掷正20面体,若把朝上一面的数字作为投掷结果,则出现0,1,2,…,9是等可能的吗?

②三个正20面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色,分别代表百位、十位、个位,同时投掷可以产生一个三位数(百位为0的也看作三位数),它是000~999范围内的随机数吗?


设计意图:这是水平一的问题,检测对用随机试验生成随机数概念的理解程度。


(3)实验室的笼子里共有100只小白鼠,现要从中抽取10只作试验用。下列两种情况是否属于简单随机抽样?请说明理由。

①每次不经任何挑选地抓一只,抓满10只为止;

②将笼中的100只小白鼠按1~100编号,任意选出编号范围内的10个不重复数字,把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠。


设计意图:这是水平一的问题,检测对简单随机抽样概念的掌握程度。


(4)如果计算器只能生成[0,1)内的随机数,你有办法把它转化为1~100范围内的整数随机数吗?转化为1~712范围内的整数随机数呢?

设计意图:这是水平一的问题,检测对随机数以及随机数法概念的理解程度。


2.课后作业

教科书习题9.1第1,2,3,4题。




名师研讨


本单元的教学设计的出发点是基于新课程标准需求的一般观念指引下的单元-课时教学设计模型结构化,单元教学设计:是在大概念(或一般观念)的指引下,选择适合的学习资源,基于对学科本质、学习心理、教学原理、技术和评价应用的理解,针对一个研究对象做出的整体性的教学设计。旨在更好地理解学科知识,掌握学科技能,提高学习能力,提升学习素养,落实立德树人根本任务。单元整体设计追求:数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性。


本单元的设计主要针对于:①内容解析的剖析:重点是在揭示概念内涵的基础上,说明概念的核心之所在,并要对概念的地位进行分析,其中蕴含的数学思想和方法要作出明确表述,在此基础上阐明教学重点。②教学目标的剖析:教学目标是教学设计的“灵魂”。用达成目标的标志引领学生探究,教学方法和学生的学习路径明朗化,结合问题串的不断深入,学生通过实物载体的直观感知、观察比较分析、抽象概括本质、形成概念、辨析理解概念、精致概念、应用中深化概念,这一系列的探究分析,抽象出概念教学课型的结构体系和模式化,为今后的学习寻找到路径。


本单元中我结合典型案例,由问题来驱动随机抽样概念和方法的学习,不仅符合统计学科的特点,而且克服了概念与方法的抽象带来的理解困难。本节教学,紧紧围绕“好的样本”展开教学,目的就是为了对总体中每一个个体的公平公正,让每一个个体入样的可能性相等,这就是随机抽样的本质。通过本节课的学习,可以帮助学生用数学的眼光观察世界,发展学生的数学抽象、直观想象、数据分析等素养以及实事求是与公平公正的处世原则。



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END




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