【单元教学】高中数学人教A版必修第二册10.1随机事件与概率丨跟名师学教研 数学008期



专栏介绍
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名师介绍

王春艳老师:中学高级教师

曾获河北省骨干教师,河北省优秀教师,河北省优秀班主任,河北省教师教育学会会员,河北省中小学教师资格考试面试官资格,廊坊市高中数学名师王春艳工作室主持人,廊坊市有突出贡献中青年优秀人才,主持河北省“十四五”规划课题“高中数学课堂培养学生学科核心素养的实践研究”,多年获得县政府嘉奖.



 名师卷首语


概率论是研究随机现象数量规律的数学分支,概率的研究对象是随机现象,它是对随机事件发生可能性大小的度量,因为随机现象在现实世界中的普遍性,它已渗透到我们的日常生活中.随着计算机科学、人工智能的迅猛发展,伴随着大数据的到来,面临的随机现象越来越多,概率论的重要性也日益突出.


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10.1随机事件与概率

一、内容解析

(说明:通过内容解析确定单元教学重点)

主要研究满足特殊条件的随机试验,抽象出样本点、有限样本空间的概念,利用样本空间定义随机事件,在定义随机事件的概率的基础上,通过古典概型计算随机事件发生的概率,研究概率的运算法则和性质,进一步认识和理解随机现象,是提升学生数学抽象素养的标志;通过对有限个可能结果的随机现象(主要是古典概型)的分析,在构建研究随机现象的路径,抽象概率的研究对象、建立概率的基本概念、发现和提出概率的性质、探索和形成研究具体随机现象的思路和方法、提高应用概率知识解决实际问题的能力,促进了学生的数学思维的发展,使学生学会辩证地思考问题,提升学生数学抽象、数学建模、逻辑推理及数学运算等素养.

综上所述,确定本单元课的教学重点:

(1)  明确有限样本空间及随机事件的概念,事件的关系与运算的意义,古典概型;

(2)  掌握概率的基本性质及应用.


二、目标解析

(说明:通过目标解析明确达成单元目标的标志)

 (1)结合具体生活实例,归纳随机试验的基本特点,能用集合语言描述一个随机试验的所有可能结果,并用有限样本空间表示,体会将随机现象数学化的思想方法,发展数学抽象素养;会求试验结果有限的随机试验的样本空间;能举例说明由某些样本点组成的随机事件的含义,能用样本空间的子集表示一个随机事件,提高应用数学语言表达与交流的能力.

(2)结合具体生活实例,在样本点、样本空间的概念,定义随机事件的基础上,能够通过类比集合关系和运算,探究“事件关系和运算”,进一步加深对随机事件的理解,它是古典概率一般定义、概率的性质和运算的研究基础,能够体会在知识结构上的更加合理的逻辑关系.

(3)结合具体生活实例,能够归纳古典概型的特征、古典概型的定义、古典概型中简单随机事件概率的计算等;通过古典概型解释相关概念,能够体会概率的意义;通过学习能熟练用古典概型模型解决相关的实际问题,感悟由特殊到一般的思想方法,提高学生的数学抽象、数学建模等素养.

(4)通过古典概型的具体实例,能够利用由特殊到一般的方法研究概率的非负性、规范性、可加性、单调性、加法公式等性质,并利用概率的运算法则求随机事件的概率,发展学生逻辑推理和数学运算等素养.


三、教学问题诊断分析

(说明:通过问题诊断确定本单元难点)

本单元教学是在初中阶段学习基础上,学生已经能够通过列表,画树状图等方法列出简单随机事件所有可能结果,对事件的概率有了初步了解,并且知道通过大量重复试验,可以用频率估计概率.但,所学的概率内容非常有限,只能通过简单的情境定性地解释随机事件,通过直观手段,用枚举法解决简单的概率求解问题,学生的抽象思维水平较低,缺少抽象出概念的经验,这将为之后的学习形成障碍.


思维准备、研究方法:通过之前的学习,学生的随机意识及思想较少,积累经验不多,数学抽象能力较低,在研究随机现象时,不易做到不确定的思维方式解决问题;建立样本点、样本空间概念的过程中,数学语言表达能力不强,缺乏为一个随机试验构建样本空间的必备能力,在教学过程中,还是形象直观为主,可以通过具体实例切入探究.


因此本单元课的教学难点是:

(1)用符号表示不同背景的随机试验的可能结果,列举实验的样本空间;

(2)求解古典概型相关事件的概率时,对所有样本点等可能的判断.

本单元课时安排4课时


四、教学过程设计

第一课时 10.1.1有限样本空间与随机事件

教学过程


章引言:本章将在初中基础上,结合具体实例,继续研究刻画随机事件的方法;通过古典概型中随机事件概率的计算,加深对随机现象的认识和理解;通过构建概率模型解决实际问题,提高用概率的方法解决问题的能力.


设计意图:通过以前的学习,学生已经知道,像抽签、抛硬币、掷骰子等试验,在一定条件下重复进行试验时,有些事件有可能发生也有可能不发生,这就是随机事件.如何进一步刻画随机事件呢?引出本节课学习内容。


认识概念,选取恰当的情境,以问题串的形式展开,层层递进展开探究分析。


师生活动:先让学生独立回顾、找同学作答,教师可以加强引导:概率从数值上刻画了随机事件发生的可能性大小,揭示了随机现象中存在的规律;初中阶段了解了随机事件;学习了用列举法求概率和用频率估计概率,教师指出:评估样本估计总体的效果要用到概率知识,现实世界中到处存在着复杂的随机现象,认识和刻画这些随机现象的规律需要更多的概率知识;教师进行追问,促进学生思维深层发展,教师组织学生小组交流,再进行全班交流.在充分交流的基础上,教师和学生一起归纳出:随机现象.


设计意图:联系统计中样本估计总体的过程,由样本的随机性提出估计效果的评价问题,进而引发学习概率的必要性,回顾初中阶段学过的概率内容,引出本节的学习课题.


再通过具体问题,引导学生初步归纳随机现象的特征,并从宏观上构建研究路径.


师生活动:教师结合教科书图10.1.1第226页的“思考”设置问题5并进行追问,引导学生观察球的号码:问题(1)学生一般能说出10个可能的结果,教师强调“所有可能的结果”的意义;问题(2)是把思考引向用集合语言描述所有可能的结果,使学生对问题的意义与思考方向更加明确,最后,师生简要探讨何种符号表示更明确简洁;


追问后,教师组织小组合作探究学习,对于前面问题1,2中的实例,以及教师、学生举岀的一些其它随机试验的实例,尝试用集合语言描述一个随机试验的所有可能的结果.教师应关注学生如何解释他们对结果的表示的思考过程;教师指导学生阅读教科书第226页,规范概念及其表示.


设计意图:通过问题5,促使学生思考本节的核心问题:如何用集合语言表示这些随机试验的所有可能的结果;通过追问1,学生尝试叙述,教师完善.此处,旨在引导学生关注把一个随机试验的结果进行数学化的思考路径与关键步骤;学生通过对追问2的思考,进一步对概念之间的关系有一个更深入的认识,为概念的正确应用奠定基础;通过类比,用数学语言表示样本点与样本空间的从属关系,加深了对概念特征理解,发展了学生的抽象思维素养.

在学生形成充分感知的基础上,教师再给出抽象表达,引入样本空间,样本点、有限样本空间的概念,并用符号语言表达,这是一种语言学习,语言学习最好的方法是先知道怎么说,再通过实践运用理解其内涵.



师生活动:先由学生独立思考解决问题,再进行交流,完善问题的解题过程与符号表示的规范性.解答中可能会出现两种观点,一种是有4个样本点,另一种是有3个样本点,这是要让学生讨论两者的差异,可以让学生通过树状图进行分析,帮助学生认识到,如果是3个样本点,就不是等可能的;为了帮助学生熟练掌握用集合语言表示样本点和样本空间,可引导学生,先用文字语言描述可能的结果,并用集合的形式表示,然后再用简洁的字母符号或数字进行,从而逐步走向数学化.此时,要让学生注意,用1、0分别表示正面朝上、反面朝上,只是一种符号.


设计意图:一题多解,促进学生思维发展,样本空间可以用不同的数学语言表达,从文字语言到符号语言,抽象程度不同,让学生感受到用符号语言和数字语言表达的简洁性,在后续学习中突显数字表达的优越性,多种表示方法,锻炼学生的抽象、发散思维,以初中学习树状图列出所有可能结果,可以做到不重不漏.提醒学生树状图是列举法中很重要的一种方法,韦恩图便于对概念的理解,为后学习奠定基础,对培养学生的逻辑思维能力有很大帮助.


师生活动:首先引导学生独立回顾初中学过的随机事件的概念,小组讨论用集合语言描述两个随机事件;从一个随机事件所包含的可能结果的角度,引导学生用自然语言解释随机事件的意义,体会两种语言的不同特点;接着追问处理,先由学生用自己的语言表达,再组织学生阅读教教材P227-228进行对照以明确结论;问题6处理,在学生独立思考的基础上,关注学生回答问题时,如何解释、推理、表达.


设计意图:促进学生建构随机事件与样本点、样本空间概念的联系;通过解答问题的方法,使学生明白可以用样本空间的子集表示随机事件,又突破了“随机事件发生”的含义这个难点.随后再从样本空间特殊子集的角度提出问题.引导学生思考全集Ω及空集对应于什么事件,从而完成了用样本点概念重新建构随机事件概念的任务.


设计意图:充分利用课本习题,体会新课程标准要求,增强“用教材”意识,强化新课程标准的导向作用.


设计意图:通过以上习题1、2题,加深考查学生对样本空间与随机事件的理解,提升解决问题的综合能力.




 名师研讨

本单元的教学设计是基于数学整体性,思想一致性,在一般观念的统领下,落实新课程标准的要求,结构化的单元-课时教学设计,所谓单元教学设计是在大概念(或一般观念)的指引下,选择适合的学习资源,基于对学科本质、学习心理、教学原理、技术和评价应用的理解,针对一个研究对象做出的整体性的教学设计.旨在更好地理解学科知识,掌握学科技能,提高学习能力,提升学习素养,落实立德树人根本任务.单元整体设计特点:数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性.单元-课时教学设计能够有效的“四基”“四能”,促使数学学科核心素养真正落实于数学课堂.


 本单元的设计主要针对于:①内容解析的剖析:重点是在揭示概念内涵的基础上,说明概念的核心之所在,并要对概念的地位进行分析,其中蕴含的数学思想和方法要作出明确表述。在此基础上阐明教学重点;②教学目标的剖析:教学目标是教学设计的“灵魂”.要注意单元教学目标与课时教学目标的内在一致性.达成目标的标志:通过适切的问题串,引导学生开展系列化的数学活动,促使学生经历发现问题和提出问题、分析和解决问题的过程,在获得数学基础知识、基本技能的过程中,领悟基本思想,积累基本活动经验.逐渐明确研究数学对象的一般套路和从宏观上引导学生构建研究的路径,本单元教学,学生通过具体实例的情境创设,抽象概括形成概念(本质),类比推导得出性质(关系、规律),辨析推理明确结构(联系)深化理解概念应用)这一系列的探究过程,抽象出具体问题数学化的方法,形成研究数学对象的路径,为接下来的学习积累学习数学的本领.


本单元按“有限样本空间与随机事件一事件的关系和运算一古典概型一概率的基本性质”的结构展开,前两小节相当于“预备知识”,古典概型相当于“函数的概念”,概念之后研究性质是数学的基本之道.这个类比可以在适当的时候(例如本单元结束时)教给学生.有了明确的方向和探究方法,完全实现学生的自主学习,同时为下一个单元学习寻到路径,也奠定了良好的基础.在教学过程中培养学生的数学抽象、数学模型、逻辑推理、数学运算等核心素养.



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END


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