【单元教学】高中数学人教A版选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程丨跟名师学教研 数学012期


专栏介绍 


【跟名师学教研】栏目内容均为一线名师团队共研成果。学科网携手一线专家与名师团队,聚焦新教材与新高考教学变革,共研高质量教学策略,同创高效率课堂模式,为一线教师提供系列优质经验案例,文末附加入团队方式。

学科网高中数学新教材高端研修班教研系列主题活动是为了解决目前一线老师面对新教材、新高考的需求.学科网邀请一线专家郭慧清老师,通过直播的方式指导新教材核心素养怎样落地.2022年7月26日晚,廊坊市高中数学王春艳工作室成员及二级工作站成员,收看了郭慧清老师的“专家讲座”, 讲座内容是《人教A版选择性必修第一册 直线和圆的方程》教学分析.在郭老师的带领下,一线老师加入高端研修班,共同建设新教材系列资源包括单元教学设计、课时教学设计和课件、课堂实录等,打造一个引领高中数学教学教研工作的天地.(文末可预约名师直播)





专家介绍


郭慧清,深圳中学数学高级教师,中国教育学会中学数学教学专业委员会理事,深圳市中学数学首批学科带头人,深圳大学教师继续教育课程外聘专家.郭老师长期从事中学数学教学与研究工作,特别关注学生的学习成长,重视积累数学教学经验,形成了“清概念、透原理、传方法、通思想”的教学风格,取得了对数学认识有着独到之处的“元的思想”高等一批研究成果,发表数学教学与研究论文五十余篇,主编或编写出版了《普通高中课程标准实验教科书数学A版》教师教学用书、《高考数学目标解析》、《新教材新学案》等教学用书。



名师卷首语


郭老师从本章教学内容、教学内容分析、教学建议、教学问题交流四个方面进行了指导.

直线和圆是平面几何中已经研究过的图形,本章用解析几何的方法进行再研究,可以使学生体会解析几何方法的特点.本章首先在平面直角坐标系中,探索确定直线位置和圆的几何要素;然后用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离。在此基础上,建立直线和圆的方程;用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离以及直线与圆、圆与圆的位置关系;解决简单的数学问题和实际问题,初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想.



专家讲座





本章中过两点的直线斜率公式是建立直线方程的基础,两点间的距离公式是建立圆的标准方程的基础,两个公式是本章内容的基础,在此基础上建立的直线的方程,圆的方程,以及运用它们研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离,直线与圆、圆与圆的位置关系等是本章的重点.用向量方法推导点到直线的距离公式,以及对直线与直线的方程,圆与圆的方程之间关系的认识,学生理解可能会有一定的困难,是本章的难点.本章研究直线、圆及其相关问题,用的是坐标法.坐标法是解析几何中最基本的研究方法,它建立了几何与代数之间的联系,体现了数形结合的思想。



专家答疑


最后,大家纷纷提出了在长期的教研过程中发现的问题和困惑,郭老师挑选了其中的问题进行归类答疑解惑.


郭老师的引领示范,既有思想内涵的指点,又有实操接地气的指导,着重问题解决,指导有效贯穿整个讲座过程,真正实现助推教师能力有效提升与创新发展的目标,满足一线教师的专业发展需求。郭老师的指导使我们及时了解新时期课程改革的精神,深入理解学科核心素养,准确把握学科课程标准理念、结构、内容与学科学业质量标准,更好地把新课程标准落实在课堂、落实在学生的行为上.


通过本次培训、答疑解惑的学习,为各工作室成员今后努力的方向和工作室未来的整体规划及推进起到了推波助澜的作用,希望在接下来的工作中大家能不断地思考、创新、进取,提高我们的工作效率,成就自我,引领未来.



名师感想


王卫老师:



听了郭老师讲解关于直线与圆的方程这一章内容.对此感触颇深.特别是对直线的方程的推导.从郭老师从不同的角度去推导直线的方程,详细的阐述了直线的方程与直线图像的关系.讲解得非常深刻,对本质的理解非常透彻.听郭老师讲完这一章的内容之后,使我意识到在未来的这一章节的数学教学当中,虽然在新教材当中,参数方程已经删去了.但是我们可以在直线与圆方程这一章节当中渗透直线的参数方程,特别是对基础好的学生,渗透参数方程可以有效帮助解决一些解析几何复杂题,这是一个比较好的收获.听完郭老师讲解之后,清晰的理解直线与圆的方程这一章教学重难点.最后感谢郭老师的深刻讲解使我受益匪浅.在以后的教学当中,多多采用数形结合的思想,从不同的角度去理解推导直线的方程,让学生深刻的理解其本质.


张园华老师:



本章是学生进入高中以来首次学习解析几何的内容.解析几何是用代数方法研究几何图形,研究方法是通过建立几何图形的代数方程,运用代数运算(算法思想),由代数运算的结果得到几何图形的性质.体现了数形结合的数学思想方法,一一对应思想,坐标法思想,为直观想象核心素养提供支撑,由具体图形到方程是直观到抽象的过程.

本章教学是在没有学习曲线与方程的关系的基础上进行的,除了介绍坐标法以外,还需渗透一一对应的思想,通过寻求直线(圆)的表示(方程)让学生体会用坐标表示点(坐标系上的点集与二元有序数对的点集是建立了一一对应的关系表示点)的基础上,也就是代数与几何的对应关系.


郭建刚老师:



听了郭老师讲座,对直线和方程的认识有了新的提高,尤其是郭老师提到的“元”思想,从另一个角度认识直线,丰富了直线内容,也明确了在这一部分向学生讲解的时候,从哪个角度切入,怎样把直线与方程的思想,数形结合的思想融合与渗透.让自己重新对这一部分内容进行了一次整合.感谢郭老师,感谢李老师静心组织!


莫日丽老师:



通过郭老师的讲解,使我从大的方向了解了直线与圆的方程这一章,需要让学生通过学生,明确在平面直角坐标系中直线与圆这两种点集与有序数对集之前的一一对应关系,直线与圆的方程由于在直角坐标系下的唯一性,因而它们的方程是其数学表达,从而也体现了用坐标法研究平面几何中的直线与圆的本质:即点集(直线与圆)与方程(点的坐标集)之前的一一对应,并区别于初高中学习的函数的对应关系.体现不同知识领域的联系性,体现数形结合的思想,用代数方法研究平几问题,同时也通过课本80页的16,17题,让学生体会代数表达式的几何直现性,体现直观想象素养,以此降低代数在形式上的抽象性,利用几何性质可以简化运算.同时也让学生明白等价的方程,即同解的方程表示的是同一条直线,从另一个方面明确直线的数学表示的唯一性.由于确定直线这个数学对象的最少元素有2个,故称直线为二元数学对象(圆为三元数学对象),至于确定直线的元素如:倾斜角,斜率、直线上的两定点的坐标,直线的方向向量,直线在x轴,y轴上的截距,它们除了后面两个是相互独立的,其它的都不是相互独立的.注意到直线的点斜式方程在直线方程中的核心地位,由它可以推出方程的一般式,当然也可以由不用分类,不管斜率是否存在这个没有限制性条件的点向式方程推出一般式方程,从直线的一般式方程的两边除以x戓y的系数,变形后可知,确定直线的元素最少是两个.从知识的联系性角度出发,在点向式方程中,若是把直线上的定点p0看作新坐标系的原点,直线l向上的方向为正方向,则直线上任一点p的横坐标t的绝对值就是点p到原点p0的距离,也是参数t的几何意义.取直线l上的单位向量,利用直线上任一点p相对于p0的位置向量与单位向量共线的充要条件,可以推出传统的直线的参数方程.由于直线l与x轴垂直时,其单位方向向量也可以用其倾斜角的正余弦表示,因此直线的参数方程也不用考虑分类是否存在斜率,与直线的一般方程一样不用分类.由于曲线的参数方程可以简化一些问题的解答过程,也可以在圆的标准方程两边同除以半径r的平方,易得出圆的参数方程.而在推导点到直线的距离这个具有唯一存在性的量的公式(这条垂线段具有唯一性)时,可以让不同的学生用不同的基础知识概念原理,从知识间的联系性出发,用学过的知识从不同角度推导这个公式,如向量法,三角法等,增加学生的数学活动经验,深入体会分类的思想,提高在分类时思维的正确性.


蒋志伟老师:



对于直线和圆的方程的讲解,郭老师带我从宏观角度重新理解了讲课时应注重的重点和难点.对我来说收获很大,曾经我讲课时注重细枝末节,强调细碎的小知识点和方法技巧,对于学生短期解题来说可能会有帮助,但对于学生长期创新能力、思维能力以及四基四能的落实来说却鞭长莫及,这样的讲课方式难免丢了西瓜捡了芝麻.郭老师告诉我们应着重强调“数形结合”的思想方法和点集与数集之间的一一对应关系.这是代数与几何结合的核心内容.并通过一一对应的关系来区别于初高中函数的定义,以此将学生已有的知识体系和新的知识体系相融合,体现数学的联系性.通过对直线方向的三种确定方式(倾斜角,斜率,方向向量)来体会点斜式是所有直线方程的核心.在探究点到直线距离公式时,教材中给出了多种方法,讲解时不以多少种方法为目的,而要讲解出方法的深度来提高学生的数学活动经验.由于直线参数方程在某些解题中的优越性,所以虽然新教材没有涉及到,但也要给学生讲解直线方程时自然而然的渗透进去并体会t的几何意义.此外,对元的认识又有了更深刻的理解,元是确定一个数学对象的要素,所以直线是二元数学对象,圆是三元数学对象.最后,我最大的感觉是要深入体会分类思想的重要性以及在分类时的依据.这对学生数学抽象,并且步骤化运算来说至关重要.

供稿/杨景泉 

文章来源公众号“廊坊市高中数学名师王春艳工作室”


END



名师团队

进一寸有一寸的欢喜,期待更好的数学教育

名师申请条件

在单元整体教学、项目化教学、数学实验研究、新高考备考等方面有兴趣且有一定的研究成果,有数学教育情怀,有意愿一起成长的一线老师和教研员。


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