数学哲学的一个基本问题:数学是“发现”的、还是“发明”的?

数学哲学是哲学的一个分支学科,研究数学中的哲学问题。数学是科学的语言,它使人类取得了非凡的技术进步。毫无疑问,数学帮助描述我们在自然界中所发现的模式和结构。从极为宏观的宇宙到极为微小尺度的量子,数学取得了巨大的成功。

爱因斯坦说:“毕竟,作为一种独立于经验的人类思想产物,数学怎么可能如此适合现实的对象呢?”

数学哲学中有一个极为基本的问题:数学是被“发明”的、还是被“发现”的?别小看这个问题,答案只有一字之差,却差之万里,它涉及到数学的对象、性质、特点、地位与作用;涉及到数学新分支、新课题提出的重要概念的哲学意义;具体来说涉及到数学本体论的研究,即探讨数学的研究对象是否为客观的真实的存在、及其数学真理性的研究等。

这个问题已经被数学家、哲学家、思想家、认知科学家、以及其它许多领域的科学家争论了两千多年,至今仍未达成共识。一个巨大的难题是,一方面数学真理似乎具有令人信服的必然性,但另一方面,其“真实性”的来源仍然难以捉摸。对于这样一个一直未解的难题,简单来讲,自然地分成有以下两大派别及其渊源:

“发现派”:数学是被发现的

这一派认为,数学之所以成为科学的自然语言,是因为宇宙以相同的秩序为基础。数学的结构是自然的本质。即使宇宙明天消失了,永恒的数学真理仍将存在。需要的是发现数学及其原理,以助于建立模型,这些模型为我们提供预测能力并了解我们想要控制的物理现象。这种数学上的立场在哲学上被称为数学柏拉图主义。

柏拉图主义(Platonism),指柏拉图的哲学及其哲学体系,其影响深远,尤其对西方哲学更是如此。它的核心是:承认抽象对象的存在,抽象对象并不依赖于时间和空间而存在,因此是既非物理的、又非心灵的实在存在。

发表论文数最多的数学家埃尔德什(PaulErds)、二十世纪最伟大的逻辑学家之一哥德尔(KurtGdel)等,都宣称自己是数学柏拉图实在论者,相信客观的数学实在可以以类似于感知的方式感知。

数学物理学家、麻省理工学院教授、基础问题研究所科学主任、马克斯·泰格马克(MaxTegmark),是当代数学柏拉图主义的代表,提出更比柏拉图主义还更进一步的“数学主义”,他提出:“数学上存在的所有结构,在物理上也都存在。”

“发明派”:数学是被发明的

这一派认为,数学非常适合描述物理世界的唯一原因是我们发明了它来做到这一点。它是人类思维的产物,我们会按照自己的目的进行数学运算。如果宇宙消失了,就不会有数学、还有如足球、网球、象棋或其他任何具有我们所设计的关系结构的规则。因此没有被发现的数学,只有被发明的数学。这种数学上的立场在哲学上被称为非柏拉图主义的立场。

非柏拉图主义者的观点是,首先,所有数学模型都是现实的近似。其次,模型失败了,经历了一个修订过程,根据需要发明了新的数学方法。分析型数学表达式是人类思维的产物,是为思维量身定制的。由于我们有限的脑力,我们寻求紧凑而优雅的数学描述来进行预测。不能保证这些预测是正确的,并且始终需要进行实验验证。

这种非柏拉图主义立场强调,我们周围的物理世界的紧凑分析数学表达式,并不像我们所希望的那样成功或无处不在。不断出现的情况是,物理世界的所有数学模型都在某个时刻崩溃了。此外,用优雅的数学表达式解决的问题类型是所有当前出现的科学问题的迅速缩小的子集。

这种观点强调,数学思想是人类认知的自然产物,人类认知的机器——大脑在我们的物理宇宙中找到了自己。数学不是通用的,除了人的大脑以外,它没有任何实际意义。数学是由大脑构造的,以便在该宇宙中发挥作用。因此,人类构建与发明了数学而不是发现数学。

这种观点的当前最有影响力的代表,有著名的美国认知学家、加州大学教授、乔治·拉科夫(GeorgeP.Lakoff)和拉斐尔·努涅斯(RafaelNúez)撰写的《数学从何而来》一书,著名数学家基思·德夫林(KeithDevlin)著的《数学本能》一书,以及神经科学家斯坦尼斯拉斯·迪昂(StanislasDehaene)著的《数字意义》一书。

最后,引用著名物理学家、数学家、诺贝尔奖获得者、尤金·维格纳(EugeneWigner)在1960年的《自然科学中数学超乎寻常的有效性》论文中这样写道:“数学语言如此适当地制定了物理定律的奇迹,是我们既不理解也承受不起的绝妙礼物。”

来源:量子认知
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