数学的历史——三次数学危机

数学是人类探索科学之路的重要工具,往往数学研究比较发达的国家科技也会先进不少,这个在欧洲崛起的道路上已经得到了证实,但是大家有没有想过,作为一个科研工具,它一定是对的吗?今天就为大家介绍一下历史上著名的三次数学危机。

第一次数学危机——公元前470年无理数的出现

在公元前5世纪的古希腊,出现了一位伟大的数学家——毕达哥拉斯,毕达哥拉斯发现了著名的勾股定理定理,并证明了该定理,在那个时代,毕达哥拉斯就是数学界的权威,他组建了毕达哥拉斯学派,汇集了当时古希腊一流的数学人才。

毕达哥拉斯有一个观点,就是所有的数字都可以表示成整数或者整数之比,比如0.3333……可以表示为1/3。有一天毕达哥拉斯学派的一个学生希帕索斯发现,等腰直角三角形的斜边无法用整数来表示,于是告诉了毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯一开始没觉得有什么问题,猜想一定是这位学生算错了,结果自己算了算也发现了不能用整数表达的数,如果他不承认这个结果,就说明他发现的勾股定理是错的,毕达哥拉斯当然不能否定自己,于是煽动学派成员把希帕索斯扔进爱琴海淹死了。

但是数学就是这样,它不以人的意志为转移,处死希帕索斯并不能解决这个悖论,直到1872年,德国数学家戴德金才以有理数分割的理论结束了第一次数学危机,无理数正式纳入了数学体系当中,此时距离希帕索斯殉难已经过了2300多年了。

第二次数学危机——17~18世纪无穷小是什么

第二次数学危机萌芽于古希腊,最著名的描述是“芝诺的乌龟”,中国古书《庄子·天下篇》也有直白的描述:一尺之棰,日取其半,万世不竭。即把一根一尺长的木棍,每次截去一半,接着截取一半的一半,如此反复,虽然木棍在变短,但永远截不完。

无穷小是微积分理论的基石,如果不解决这个问题,那么微积分在理论上就是不完备的,那么很多基于微积分的理论就不能说是完全对的,那么包括牛顿力学体系在内的重要数学推论也就不能成立了。

自从第二次数学危机出现后,无数的数学家都在试图修补这个漏洞,但是这种体系性的漏洞是很难补全的,因此第二次数学危机一直持续到了19世纪70年代,在前人研究的基础上,数学家威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人建立了实数理论,才将这个问题解决。

不过,第二次数学危机也带来了很多好处,在解决这个问题的道路上,人类在数学、天文、物理等领域的发展突飞猛进,我们现在使用的很多技术都与这些相关,可以说,没有第二次数学危机,就没有现代社会。

第三次数学危机——1897年集合论中的悖论

1897年,数学家福尔蒂提出这样一个悖论:假如有这样一位理发师,他给自己定下了一个规矩:他只给不给自己刮胡子的人刮胡子,那么他应不应该给自己刮胡子呢?

如果他不给自己刮胡子,那么他就是不给自己刮胡子的人,他应该给自己刮胡子,而如果他给自己刮胡子了,他就是给自己刮胡子的人,那么他就不能给自己刮胡子。

虽然在我们看来,这个悖论就是吃饱了撑的,但问题在于,这个悖论是满足集合论的原理的,而且集合论现在已经深入到了数学的各个方面,如果这个悖论不解决,集合论就是有漏洞的。

遗憾的是,至今为止,第三次数学危机也没有得到完美的解决,1931年,数学家哥德尔提出了不完备定律,证明了数学本身在理论上就是不完备的,所以数学的发展远没有结束。

来源:历史冷知识
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