20世纪数学的7大主要成就

20世纪初期,康托尔的集合论被正式接纳为一个数学分支,在此基础上,发展出来测度和积分理论。其中特别是勒贝格创造了他的积分理论,对后来的实函数论发展有着决定性的影响,并应用于调和分析、微分方程以及后来的泛函分析等学科。勒贝格积分在十几年之内有着各种各样的推广,特别是拉东积分,统一了斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分,对于后来积分几何学乃至x射线成像理论都有重要的应用。当儒瓦发明了总体化过程,对于不可求和的导数证明微分和积分的互递性,从而得出了最一般的积分概念。19世纪末,贝尔关于函数类的研究与点集论相结合,导致解析集合论的产生。集合论在当时的苏联和波兰得到了长足的发展。

20世纪,数学上最完美的成就是类域论的完成,希尔伯特在19世纪末总结了代数数论的成就,创建了类域论的系统,并提出一系列猜想。这一系列猜想在20世纪最初30年中得到了完美的证明。另一方面,亨塞尔引进了p进域,开创了局部域理论。同时,作为全局域,除了代数数域之外,还有基域为有限域的单变量代数函数域,从而使代数数论的内容更加丰富。局部与全局的关系表现在很多方面,最简单的情形是闵可夫斯基、哈塞的二次型定理一一哈塞原理。

20世纪的数学发展的一大特点是把一维推广到了高维。在不同的领域存在着不同程度的困难,其中,多复变函数论确实是20世纪的一个重要分支。19世纪末,人们就尝试把单复变函数论中的一些定理推广到多复变函数上面,但早在20世纪初,就发现即使是两个变量的复变函数,也同单复变函数有许多差异,尤其是相当于单复变函数中的单位圆或上半平面在多变量情形下是极其复杂多样的。最简单的情形是嘉当在1935年分类的有界对称域,但后来发现非对称的有界奇性域可以是不可数无穷那么多,这说明多复变函数论的困难。另外一个发展是嘉当等关于正则域的刻画,而后来的发展,势必靠新兴的代数拓扑学、抽象代数学、微分几何学与偏微分方程理论的发展才行。

20世纪初,函数逼近论正式发展成为一门新学科,它后来通过泛函分析与最优化理论联系在一起。发散级数的求和理论也与数论应用结合在一起。傅里叶级数收敛性的研究也取得惊人结果,一方面存在L1中函数的傅里叶级数几乎处处发散,一方面1966一1967年证明Lp(p>1)中函数的傅里叶级数几乎处处收敛。

19世纪,常微分方程理论取得了巨大的发展,到20世纪,主要是沿着庞加莱所开创的定性理论与李亚普诺夫所开创的稳定性理论继续发展。1901年,本迪克松提供周期解存在的一个肯定判据。1912年,庞加莱对狹义三体问题证明存在无穷多周期解,但其中的一个关鍵的拓扑定理,他生前并未得到证明。他去世不到半年之后,由伯克霍夫加以证明。其后,他继续用拓扑方法研究回归问题,他的工作总结在1927年出版的《动力系统》一书中,他的极小极大方法后来被莫尔斯于1925年推广成为著名的莫尔斯理论。1934年,他的理论总结在《大范围变分法》一书中。另一类大范围变分法的理论是柳斯捷尔尼克和施尼雷尔曼的范畴理论。

20世纪,几何学有了重新的分化和重组。1906年开始把埃尔朗根纲领同微分几何学结合起来,产生了射影微分几何学,其后又产生了仿射微分几何学。由于黎曼几何学和张量分析的技术被爱因斯坦用在广义相对论上,促进了微分几何学的飞跃发展。特别是1917年,列维-奇维塔引进了平行移动的概念,1918年,外尔引进了仿射联络的概念。其后,嘉当系统地发展了联络理论,他的工具是活动标架法。同时在相对论的剌激下,出现了一系列一般空间的几何学的研究,如芬斯勒空间。另一个经典问题是普拉扎回题,在20世纪30年代得到解决后,到20世纪60年代又由偏微分方程及微分几何学的进步而得到新的振兴。20世纪前期的代数几何学主要是意大利学派关于代数曲面的研究,1935年,扎里斯基把它总结在《代数曲面》一书中。

概率论虽然已有300的年的历史,但到20世纪初,人们对概论只有一些模糊的认识,概率的计算也没有很严格的基础,当时只有一些古典概率的基本概念以及大数定律和中心极限定理的原始地式。20世纪初,严格地证明了中心极限定理。1909年,波莱尔得出强大数定律,马尔可夫开始了马尔科夫链的研究,到20世纪20代,建立了大数定律与中心极限定理成立的充分必要条件,可以说是古典概率论的最终完成。

对于概率的数学基础,一直到波莱尔有意识地把概率论建立在测度论的基础上,建立了可数集的概率论,填补了古典概率以及几何概率之间的空白,概率论才算有了可靠的数学基础。1933年,柯尔莫哥洛夫把概率论公理化,概率论才正式成为一门独立学科。20世纪20年代到40年代,是概率论的英雄时代。在这个时期形成了莱维为代表的法国学派,柯尔莫哥洛夫、辛钦等人为代表的苏联学派。以及稍后的美国学派。这个时期研究了独立随变量和的极限定律以及相关的随机变量情形下大数定律与中心极限定理的推广,而最主要的一个方面是随机过程。随机过程的最典型的例子是布朗运动,在爱因斯坦于1905年的物理解释基础上,维纳首先从数学上建立布朗运动的理论模型,其后列维从马尔科夫过程观点研究布朗运动,提出假定未来与过去无关这种强马尔科夫性质。后来发现马尔科夫过程的转移概率满足微分积分方程。

作为概率论的应用是数理统计,它来源于优生学。20世纪初,皮尔逊构成相关性的理论,建立了生物计量学的基础。他引进了X分布,开辟了参数检验理论。后来,戈塞特开辟小样本检验方法,这些都是建立在古典概率的基础上。20世纪20年代,费希尔一系列的理论与实活动促进了数理统计的极大发展。他主要的贡献是假设检验和实验设计,他还发展了方差分析方法的研究,但他的数学不够严格。后来在概率论公理化的基础上,奈曼等人奠定了统计假设检验的基础。实验设计是应用得非常广的方法,它与组合论密切相关。特别涉及正交拉丁方的存在问题以及区组设计理论,这些都己经成为组合理论的独立分支。数理统计的另外一个发展是瓦尔德开创的统计判决函数理论。在第二次世界大战中,他发展了序贯分析法,有极大的实用价值。

20世纪,数学最重要的成就之一是群表示论,先是有限群,其次20世纪20年代外尔及嘉当发展了半单李群的表示。20世纪30年代,对于李群的本质有了深刻的了解,在一般的局部紧群上面,引进了测度、积分、概周期函数,并开始了无穷维不可越表示的研究。从这时起,半单李群、幂零李群、可解李群的表示都取得了重要进展,并且广泛地应用于数论、分析、代数几何及自守形式理论上。20世纪30年代,类域论由薛华荔引进伊德尔而代数化、韦伊又引进阿德尔。1967年,朗兰兹把群表示论和数论以及调和分析结合起来,成为代数数论发展的新纲领。

代数数论另外一种表述是用同调代数方法,而同调代数又是从代数拓扑学中产生出来的,它在代数和数论方面起着重要作用。代数几何与群论的结合又产生代数群理论,代数群中的算术子群又是古典二次型理论的推广,而借助于李代数得出的李型单群,大大推动了有限单群的分类问题的解决,这些理论有机地结合在一起,成为这个时期数学发展的一个特征。

来源:究尽数学
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