费曼:是学物理好还是学数学好?

作者:Jørgen Veisdal

翻译:Nuor

审校:  Dannis

1965年,理查德·费曼在康奈尔大学发表了有关“物理与数学的关系” 的系列讲话。被誉为”最伟大的讲解员“的费曼先生在此谈到了他认为的物理和数学之间的主要区别。他的观点可以总结为以下几点。

认识论的差别

“ 数学家们研究那些可以‘使用’的抽象推理,即使他们也不知道可以‘使用’在哪些地方。”

首先,费曼指出了那些学习数学的人们在认识论方面的差异,尤其是一些元数学家们的(Metamathematician,代表一些利用数学方式研究数学的数学家)。

数学家们只注重处理推理的结构,而非推理的内容。就像他们自己所说的,他们不需要知道自己在说什么,或者自己说的是否正确。

接下来,他形容一般系统的计算性能和一些机器可推导出人类无法的定理的可能性:

现在,设想如果你谈起一个定理的时候说:“某某和某某是这样”和“某某和某某是那样”,会怎么样?虽然我们不知道“某某”代表什么,但是这个句子的逻辑是可以理解的。

就是说,如果关于定理的陈述是正确的(也就是说,是表述确切且完整的),那么进行推理的人不一定需要了解这些词的含义。

他能够用同样的语言得出新的结论。比如说在定理中用单词:三角形,则在结论中会出现三角的表述。而在做推理的人不一定需要知道什么是三角形。但是,他可能将通过阅读这个定理说:“哦,一个三角形就是有三条边的东西等等。”所以你得知了这个事实。

换句话说,这就是所说的:数学家们研究那些可以被‘使用’的抽象推理。

这与物理方面的认知论形成了鲜明的对比:

物理学家认为所有的词都很重要。很多非数学出身的物理学家不能意识到的一件非常重要的事情是:物理学不是数学,数学也不是物理学。但它们能够相互帮助。

但是,你需得了解单词和现实世界的联系。如果需要的话,还得将其翻译为现实的问题和实验,并在实验室进行验证,证明它的结果是不是正确的。这确实不是数学要研究的问题。

物理和数学之间的另一层关系是,数学推理在现实中发挥巨大的作用并应用于物理学中,有时,物理学家的推导对数学也有帮助。

到此为止,费曼没有进一步解释,但是有一个相关的示例是爱德华·维滕的正能量定理(他因此获得菲尔兹奖)。在阐述爱德华·维滕成果的论文中,数学家迈克尔·阿蒂亚随后描述了其对数学的重要性:

他用数学的形式来解释物理思想的能力非常独特。他一次次地将物理中深刻的洞察力应用到新颖且深入的数学理论中的做法,使得数学界大吃一惊。他对数学界产生了深远的影响。在他的手中,物理再一次为数学提供了灵感和洞察力。

——迈克尔·阿蒂亚

适用性的不同

“数学家们喜欢将他们的推论变得尽可能普遍。”

费曼继续以一种幽默的方法讨论数学的应用,这些应用往往与大多数物理学家的兴趣点形成鲜明对比:

如果你说“这有一个三维空间”,并问数学家关于此的定理,他们会说:“看,如果有一个n 维的空间,有定理某某某。”“但是,我只想要知道三维空间的。。。”“这样就假设n=3 !”事实证明,它们比许多复杂的定理要简单许多,因为它们恰好是某些特殊情况。物理学家总对某些特殊情况情有独钟。

物理学家对一般的情况不感兴趣,总是在探讨那些具体的问题,而不是在抽象地讨论事情。他知道讨论的是什么,比如说他想要讨论万有引力,而不想讨论任何力的情况,只要万有引力。

当然,由于数学家是为了更普遍的问题提出的定理,因此应用到特定的问题上会损失其普遍性。后来总会发现,有很多“可怜”的物理学家回过头说:“劳烦了,您能不能告诉我四维的。。。”

直觉和严谨

“‘可怜的’数学家们没有直觉的引导,只有严谨、谨慎的精确数学论点。”

费曼接下来谈到了两门学科的发现过程,强调了物理学家优势在于:在某些本质上来说,他们的学科是应用的而非纯粹抽象的:

当你知道你在说什么时——这是力,这是质量,这是惯性等等——可以用一系列常识性的、经验性的关于世界的感知。随着认识事物的增多,或多或少的,你可以知道该现象的行为模式。

然而,“可怜的”数学家会将其转变为对他来说没有意义的符号和方程,他们没有直觉的指导,但有严谨、谨慎的精确数学论点。

鉴于物理学家们或多或少知道一些答案的方向,他们会冒出来给出一些猜想,然后剩下的留给数学家们继续。

数学中精准的严谨性在物理中不是很有用,对现代数学公理的态度也是。现在,数学家们可以做他们想要做的事情,人们不应该批判他们,因为他们不是物理的奴隶。不能因为这样对你们有用,所以他们必须这样做。他们可以做他们想要的工作,这是他们自己的工作,如果你需要其他东西,请自己来做。

费曼在这里认为,因为物理研究自然现象,人类对此有一定的直觉倾向。这与描述某些数学定理的发现恰恰相反,包括约翰·福布斯·纳什关于非线性偏微分方程的发现:

1950年代的数学家们已经知道了如何利用计算机求解常微分方程(ODEs)的比较繁琐的流程。但是还没有找到解决非线性偏微分方程的确切方法,比如说在喷气式发动机的湍流运动中出现的方法。

但是1958年,纳什就能够用自己发现的方法获得基本存在的、唯一的、连续的定理。令人惊讶的是,这涉及到将“非线性方程转变为线性方程,然后用非线性进解决”,这是前人从未想到过的“天才之笔”,彼得·拉克斯如是评价说。关于这项技术,隆德大学(the University of Lund)数学教授,偏微分方程专家拉尔斯·高丁随后声明:“要做这一点,你必须是个天才”。

论模型的实用性

费曼接下来讨论了物理模型的实用性,以及其在新发现中“似乎”缺少的用处:

接下来的问题是,在我们尝试发现新的定律时,能否进行一些猜测?能否利用直觉和哲学原理等等,像“我不喜欢最小原理,喜欢最小控制”或者“我喜欢或不喜欢远距离作用。”

问题是模型在多大程度上有帮助,这是一件非常有趣的事情。模型经常有所助益,物理老师们也常教给学生模型的用法,以及如何通过模型对事物发展有一个清晰的物理直觉。

但是,最伟大的发现,总是会从模型中抽象出来的。它从来没有做过具体的事情。麦克斯韦的电动力学首先从滑轮上一系列虚构的轮子和空中的磁场得出的。如果移除所有的滑轮和磁场,就是电动力学的抽象理论。狄拉克通过猜测方程就可以得出正确的相对论量子力学定理。

猜测方程的方法看起来是一个猜测新定理的有效方式。这再次表明,数学是表述自然的深层次的方法,而试图以哲学原理或者直觉的机械感觉的表述并不是一种有效的方法。

数学和物理的适用性

为什么要花费这么多精力来研究一小段时空的发展过程?

奇妙的是,费曼继续预测:在未来的某天,世界的本质将不会用数学的语言来表示,相反,会有另外的方法来表示自然的运作,其需要少量的运算:

我必须说,我经常假设物理的终点将不再需要数学方面的陈述,其内在的机制将在未来被揭晓。使我困惑的是,尽管目前存在诸多问题,但根据目前的定理和我们的经验来看,无论研究的区域多小,时间多短,都需要无限的计算时间和逻辑概念来描述这一问题。

那么,在一个小空间中的所有事情的逻辑是什么?为什么需要无限的逻辑来弄清其发展的过程?因此,我假设所有的定理都将会像西洋跳棋一样简单,所有的复杂度都是由于规模不同产生的。

但是,这跟其他人的预测本质是一样的。就像有人说:“我喜欢这样”“你不喜欢这样”有着明显的偏见,这对于科学研究不好。

数学的需求

费曼接下来引用了詹姆斯·简斯和物理化学家兼作家查尔斯·珀西·斯诺的著作“两种文化”(The Two Cultures)中讨论物理中的数学时的观点:

总而言之,詹姆斯说:“最伟大的建筑学家看起来就像是数学家一样,因为对于不懂数学的人而言,很难深入且全面地了解自然之美。”

斯诺讨论了两种文化(建筑和数学)。这两种文化区别了两种人:一种已经足够理解数学而能够领略自然之美,一种还没有理解。

尽管对一些人而言,数学很难,但是不幸的是,他必须学会数学。当一位君主试图从欧几里得那里学习几何学时,也曾抱怨数学很难,但是欧几里得说:“几何没有捷径。”

论沟通

也许由于视野有限,所以允许有些人认为宇宙的中心是人。(允许部分人存在“狭隘”思想。)

最后,费曼建议物理学家需要掌握数学,才能对自然有新的发现,并表明,数学对我们目前了解世界的发展具有重要作用:

作为研究过这些东西的人,我们不能用‘我们已有的语言’来了解自然。如果想要讨论自然,欣赏自然,了解自然,需要学习自然的语言,自然只以她自己的声音表达意愿。

在我们对此提起注意之前,我们不能自大到要求自然做出改变。对我来说,你做出的所有聪明论点对于聋子来说都见效甚微。世界上所有的聪明论点都不能说服“另一种文化”。

那些哲学家们试图定性地告诉你这件事的本质。我正在试图给你描述它,但结果却无法完全描述。这是由于“文化不同”,这种不同的交流无异于对牛弹琴。

所以,由于视野的局限性,所以我们允许人们想象宇宙的中心就是人。

原文链接:https://medium.com/cantors-paradise/richard-feynman-on-the-differences-between-mathematics-and-physics-c0847e8a3d75

来源:环球科学
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