古印度数学家的方程求解史

直到今日,印度仍是一个多民族、多宗教的国家——印度教(Hinduism)是婆罗门教(公元前7世纪)在公元8-9世纪吸收了其他教派一些教义及民间习俗等后形成的,伊斯兰教(Islamism)产生于公元7世纪的阿拉伯半岛,佛教(Buddhism)创立于约公元前6世纪的古印度迦毗罗卫国。

印度教前身(婆罗门教)、佛教都是印度早期本土教派,其源流均可上溯至公元前5-9世纪,但其实早期教派中还有一个有影响力的教派——耆(qí )那教,不过它13世纪以后开始走向衰微。

一、“吠陀”时期的印度数学

[约公元前800-前300]

印度本土的这三大教派对印度数学的贡献是巨大的。因为宗教祭祀、天文观测、时间测定等实际需要,教徒们不得不讨论数学,“吠陀”经典《测绳的法规》(Shulba Sutras)就是这样一类宗教著作,全书以诗歌形式写成,主要内容是庙宇的布局、设计,书中的相关数学内容(主要是几何的)就是后世学者从诗歌中抽象、整理出来的。

《法规》中涉及到勾股定理(原著无证明)、化圆为方等几何问题,也有部分几何问题导致的代数问题——根号2的精确到小数点6位近似值、一元二次方程不定方程求解等。

为了处理一个“扩建”Falcon-shaped Fire-altar””问题,出现了二次方程:

但原书只给出近似答案,并未给出求解过程或求根公式。【1】

二、“悉檀多”时期的印度数学

印度数学在公元前3世纪以后出现了几百年的断代情况,直到“悉檀多”(Siddhanta)时期数学家“阿耶波多”[ ryabhaa,约公元476年-550年]的出现。阿耶波多是迄今为止第一位有明确记载的印度知名数学家。他出生的这年,西罗马帝国覆灭,欧洲进入近千年的“中世纪时期”。

中世纪对于欧洲是黑暗的,但是之于亚洲确是数学创造的高峰期:我国在宋元时期(960—1368年)有“宋元四大数学家”——秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰。印度在“悉檀多”时期[约公元400-公元1200年]也有四位巨人——阿耶波多[ ryabhaa],婆罗摩笈多(Brahmagupta)、马哈维拉(Maha vira)、婆什迦罗(第二)(Bhaskara)”。阿拉伯则更有花拉子米、海亚姆、纳西尔-丁、卡西等数学大家。

这一时期在解决方程上的突破性工作是巨大的,秦九韶的高次方程数值解法、花拉子米的配方法解二次方程(并借助图形证明)。

阿耶波多在讨论等差数列问题[20行]以及利息问题[25行]时用到了一元二次方程;《阿耶波多文集》共有诗121行,其第2章共有诗33节,主要讨论数学问题。摘录第25行:

利息与利息所生利息的和乘借期,再乘本金。以乘积加上本金半数的平方。开平方、平方根减去本金的半数,再除以借期、结果本年的利息。[3]

施里德哈勒是另一名印度数学家,生卒年不可考。据后来其他学者引用,他使用了“配方法”来解一元二次方程:“两端乘以平方项系数的4倍,再加上未知数系数的平方,然后再平方。”

这也正是阿拉伯数学家花拉子米的使用求根方法。

印度数学著作在“吠陀”时期以宗教文献的形式、而在“悉檀多”时期以天文学的形式呈现,没有纯粹的数学著作。

印度数学相较于古希腊数学在解方程上的一大进步是认识到一元二次方程有两个根,并且逐步使其脱离几何的束缚;同时,由于印度数学家对待负数、无理数的态度没有古希腊那么“较真”,所以,他们的根中允许有负根和无理根。但是求根公式仍然是以实际情景呈现的,没有一个一般性的公式。

参考文献:

[1].世界数学通史(上).梁宗巨.辽宁教育出版社.2005.1

[2].http://indicportal.org/category/uncategorized/page/3/

[3].中国数学史大系(一).吴文俊.北京大学出版社.2001.12

来源:数学原来如此
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