九连环中的数学原理

九连环作为我国民间玩具,以金属丝制成9个圆环,将圆环套装在横板或各式框架上,并贯以环柄。游戏时,按照一定的程序反复操作,可使9个圆环分别解开,或合而为一。“九连环”现已成为一种国际性的益智游戏,国内外都有学者在研究,拆解九连环的过程中也蕴含着一些数学原理。

九连环在拆解的过程中有两个原理:

1. 如图一所示,九连环中的第一个环,在任何情况下都可上可下;

2. 如图二所示,如果某一个环在上面的环杆上,而它前面所有的环都在下面的环杆上,那么这个环的后一个就可上也可下。这也就是说,如果我们想把第n个环卸下,那么第n-1个环要留在上面的环杆上,而第n-1个环前面的所有环都要在下面的环杆上。

3. 每次只能解下或装上一个环。

由以上可知,如果我们解下第九个环,我们就要把第八个环放到上面的环杆上,而把前七个环放到下面,进而把拆解“九连环”转变为拆解“七连环”。我国古代也有拆解九连环的口诀:“上俩下一个,再动后一个;上一个下俩,再动后一个”。而九连环的拆解方法就涉及到了“数列”这一数学原理:

我们假设环的数量为n,记解开n连环所需的总步数是Sn, 解下每个环的步数为an;根据第二个原理我们可以推出,如若要卸下第n个环,就需要先卸下前n-2个环,其总步数就为Sn-2,这时再需要一步就可以把第n个环解下;而为了解下第n-1个环,还需要把前面的n-2个环套上,装上前n-2个环就需要Sn-2步(因为装上和卸下的步骤正好相反,所以步数相同),所以卸下第n个环需要an=2Sn-2+1步。因此,解开九连环所需要的步数就是一道数列题:“已知S1=1,S2=2,an=2Sn-2+1,求Sn(n≥3)。”

由上图可知,S9=341,即拆解一个九连环需要341步。

熟悉九连环的人解开处于原始状态下的九连环所需的时间大概是6分钟左右,解开11连环则需24分钟左右,以此类推,如要解开17连环就要一昼夜以上,这不仅仅是在解环,也是在挑战自身的极限。这也就是九连环自诞生之后,虽然步骤简单却可以在民间广为流传,盛行不衰的原因吧。

来源: 新华网


你可能感兴趣的文章
数学能力|不需要言语

在所有的近亲动物中,我们人类在掌握和发展抽象数学方面是独一无二的。长期以来,这种能力是如何进化而来的一直是心理学家和人类学家感兴趣的问题。一种可能性是,高水平的数学能力是建立在数字、空间和时间感的基础上的,这种感觉从出生起就根植在我们的大脑中,我们和许多动物物种都有这种感觉。另一个原因是它依赖于我们的语言能力:当我们思考复杂的数学时,我们借用了一些我们进化来理解和构建语言的工具。

趣味数学 2020-08-25
接收不到外星文明信息,是因为数学体系不一样?

在偌大的宇宙中,真的不存在外星文明么?如果存在,为什么我们到现在都还没发现?这是大部分人耳熟能详的费米悖论。科学家一直都在思考这一系列问题。他们试图理解这种失联背后的原因。或许,外星人根本不会说话?又或许,他们交流的方式与我们完全不同?如果外星人真的发出了联络信号,是出于好奇、自豪还是孤独?

趣味数学 2020-08-10
数学不好是一种病?
数学不好是一种病?

有一种人,似乎一生下来,数字就和他们过不去:数数只能数到4,分不清7和9哪个更大,永远记不住自己的电话号码……这是一种鲜为人知的学习障碍——计算障碍,有时被称为“数盲症”。研究人员估计,患有计算障碍的人在总人口中所占比例高达7%,这种学习障碍的特点是,患者在处理数字时会遇到严重困难,而其他方面的智力完全正常。计算障碍还有救吗?

趣味数学 2020-07-31
除了考试得分买菜算价,数学还有什么用?
除了考试得分买菜算价,数学还有什么用?

今年高考由于疫情推迟了一个月,这与往年相比似乎显得尤为不同。但相同的是,每年高考的数学卷都会成为被热议的经典话题。以江苏和浙江为代表,“数学难,难于上青天”甚至成为了不少考生由衷发出的心声。倘若日后选择了一个与数学不太相关的专业,高考的数学水平甚至可以代表部分人的数学巅峰。而选择一个与数学相关的专业,未来更可能变成一出“我待数学如初恋,数学虐我千百遍”的长久虐恋。

趣味数学 2020-07-31
盘点被数学“折磨”过的瞬间:捡了一支笔,仿佛被全世界“抛弃”

数学对于很多孩子来说,是不可言说之“伤”,一提起数学,大多数孩子估计会头疼得“嗷嗷”叫。特别是一些高年级的孩子,随着数学知识的越来越深奥,面对的“折磨”和“摧残”也就越来越多。

趣味数学 2020-06-17
什么是数学?数学是什么?数学的本质是什么?

什么是数学?研究空间关系与数量关系的知识综合体就是数学。点,直线,射线,线段,三角形,正方形,长方形,平行四边形,圆形,梯形,多边形,正方体,长方体,球体,圆柱体,圆锥体,棱体…… 点线面体,由浅入深,逐渐研究空间关系。加减乘除,自然数,正数,负数,零,整数,分数,小数……通过数的分类与数的运算,研究数量关系。数学就是对世界的空间与数量的认知。

趣味数学 2020-06-17
音乐中的这些数学知识,你都知道吗?
音乐中的这些数学知识,你都知道吗?

提到数学与音乐,也许有人会觉得这是两种相差甚远的东西,但其实这两者之间的关系远比我们想象的要密切得多。比如蟋蟀的鸣叫可以算得上大自然的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系,用一个一次函数来表示:C=4t-16。其中C代表蟋蟀每分钟叫的次数,t代表温度。

趣味数学 2020-05-26
数学猜想:数学独特魅力的一种体现

据最近的英国《自然》杂志报道,日本数学家望月新一(Shinichi Mochizuki)将发布重要数学猜想——abc猜想的证明过程,定稿长达600多页。8年前,他曾用长达500多页的4篇论文,声称自己证明了abc猜想,引发学术界大讨论,然而很少有人能够理解他的这项工作。abc猜想是数学中最大的开放性问题之一,它表现出了整数加法和乘法间深刻的联系;很多著名的数学猜想和定理都基于它问世,这使得该猜想备受青睐。这回望月新一的证明过程即将出版,再度引起了人们对数学猜想的关注和重视。

趣味数学 2020-04-29
数学的进步到底是发明呢,还是发现呢?

我们生活的这个世界中,充满着怀疑和不确定,长时间以来,似乎数学被看成是确定性的最后堡垒。这也是绝对主义所拥护的观点,因为柏拉图可能是最早坚持这个观点的人,所以也被称为柏拉图主义:

趣味数学 2020-04-27
祖冲之:我身为一个数学家,喜欢写文章是很合情理的

祖冲之,字文远,祖籍范阳遒县(今属河北涞水),生于建康(江苏南京),南北朝著名数学家、天文学家。

趣味数学 2020-04-16