2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)答案
(1)B (2)B (3)C (4)C
(5)D (6)C (7)A (8)A
(9)?2 (10)1 (11)
(12) (13)4 (14)
(15)(Ⅰ)解:由,及,得.
由,及余弦定理,得.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),可得,代入,得.
由(Ⅰ)知,A为钝角,所以.于是,
,故
.
16.(Ⅰ)解:由已知,满足的数学关系式为即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
(Ⅱ)解:设总收视人次为万,则目标函数为.
考虑,将它变形为,这是斜率为,随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距,当取得最大值时,的值最大.又因为满足约束条件,所以由图2可知,当直线经过可行域上的点M时,截距最大,即最大.
解方程组得点M的坐标为.
所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
(17)本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
(Ⅰ)解:如图,由已知AD//BC,学|科网故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,由已知,得,故.
所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(Ⅱ)证明:因为AD⊥平面PDC,直线PD平面PDC,所以AD⊥PD.又因为BC//AD,所以PD⊥BC,又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC.
(Ⅲ)解:过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC,DF//AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-–BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得,在Rt△DPF中,可得.
所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
18.(Ⅰ)解:设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由已知,得,而,所以.又因为,解得.所以,.
由,可得.由,可得,联立①②,解得,由此可得.
所以,的通项公式为,的通项公式为.
(Ⅱ)解:设数列的前项和为,由,有
,
,
上述两式相减,得
.
得.
所以,数列的前项和为.
19.【解析】(I)由,可得
,
令,解得,或.由,得.
当变化时,,的变化情况如下表:
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所以,的单调递增区间为,,单调递减区间为.
(II)(i)因为,由题意知,
所以,解得.
所以,在处的导数等于0.
(ii)因为,,由,可得.
又因为,,故为的极大值点,由(I)知.
另一方面,由于,故,
由(I)知在内单调递增,在内单调递减,
故当时,在上恒成立,从而在上恒成立.
由,得,.
令,,所以,
令,解得(舍去),或.
因为,,,故的值域为.
所以,的取值范围是.
(20)(Ⅰ)解:设椭圆的离心率为e.由已知,可得.又由,可得,即.又因为,解得.
所以,椭圆的离心率为.
(Ⅱ)(ⅰ)依题意,设直线FP的方程为,则直线FP的斜率为.
由(Ⅰ)知,可得直线AE的方程为,即,与直线FP的方程联立,可解得,即点Q的坐标为.
由已知|FQ|=,有,整理得,所以,即直线FP的斜率为.
(ii)解:由,可得,故椭圆方程可以表示为.
由(i)得直线FP的方程为,与椭圆方程联立消去,整理得,解得(舍去),学.科网或.因此可得点,进而可得,所以.由已知,线段的长即为与这两条平行直线间的距离,故直线和都垂直于直线.
因为,所以,所以的面积为,同理的面积等于,由四边形的面积为,得,整理得,又由,得.
所以,椭圆的方程为.